来源 | 雷达信号处理matlab

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不知道你是否发现了，雷达、通信系统传输时使用的是实信号，而信号处理时使用的却是复信号，这是为什么呢？

信号的零中频

雷达系统发射的信号只是信息的载体，它并不包含信息，所有的目标信息都蕴含在经目标反射的回波中。故雷达波形对雷达性能具有极大的影响。

早期雷达发射的载波为正弦波，发射和接收的都是实信号，接收后要把目标信息从载波中提取出来，通常的做法是将载频变频到零（通称为零中频）。

变频就是将载频频率下移，早期通信系统的调幅接收机将射频信号下移到中频，以方便信号的滤波和放大，然后通过幅度检波（调幅信号的载波只有幅度受调制）得到所需的低频信号。

下图为下变频示意图，由图中我们可以看出下变频后信号的频率明显降低。

图源网络

现代雷达系统有各种调制方式，但为了方便处理，都需要将频带内的信号的谱结构原封不动的下移到零中频 (统称为基带信号)。

信号的混叠

实信号存在共轭对称的正、负谱，而复信号只存在单边频谱，如下图所示。

故将接收到的实信号直接零中频是不行的，因为随着载频的下移，正、负载频相互接近，到中频小于信号频带一半时，两部分谱就会发生混叠，如下图所示。

当中频为零时混叠最严重，使原信号无法恢复。在实际变频中应注意避免正、负谱分量的混叠，以正确的获取基带信号。而复数在混频是不仅不会发生混叠，还会使信号幅度增大。

说明：在基带信号中，负频率只在数学上有意义，并不占用实际带宽。但当基带信号调制到高频后，就会形成了关于其自身载频  的对称频谱，原来的负频率信号就占用了实实在在的频率资源。即，如果一个单边频带宽为  的实信号，在将其转换为高频后就会占用  的带宽。

实际中，复数变量由实部和虚部两个分量构成。复信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会不方便，故实际信号的传输总是用实信号。

但在接收机接收到信号后，在数字信号系统中考虑到信号采样频率等的选择而使用复信号。

故雷达接收到实信号后，需先对实信号处理将其转换为相对应的复信号，如下图所示。使本振信号、与本振信号相位相差  的信号分别与接收信号混频，通过低通滤波器滤除干扰成分即可得到所需的复信号的实部、虚部，将其相加即可。

实信号的复数表示有两种：希尔伯特（Hilbert）变换表示法和指数表示法。对窄带信号来说，这两种表示方法是近似相同的。将在下期中介绍这两种方法。

能量信号和功率信号

传输的信号是用时间的实函数表示，即实信号，其特点是具有有限的能量或有限的功率。能量有限的信号称为能量信号；能量无限但功率有限的信号，称为功率信号。

描述能量信号的频谱特性通常采用能量谱密度（Energy Spectrum Density, ESD）函数（实际应用中常用振幅谱）来描述；对于功率信号，则常用功率谱密度（Power Spectrum Density, PSD）函数来描述。

为什么信号要有两种不同的频谱表示方法呢？

• 功率信号的能量是无穷的，此时从能量角度考察是没有意义的，因为能量会一直存在，越来越大。故此时需要选择平均功率作为考察的量纲。就像平常所见的正余弦信号这类周期信号便是功率信号，求解其频谱时使用傅里叶级数。

• 能量信号的能量是一个有限值，平均功率肯定是无限接近于 0 ，此时从功率角度考察是没有意义的。这时候就可以把能量作为考察能量信号的有效量纲。能量信号一般为有限时间信号，求解其频谱时使用傅里叶变换。

雷达的发射信号一般是除初相外其余参量均已知的确知信号，而回波信号则是与噪声、干扰叠加成的随机信号。

注：如果信号是一个随机参数（随机相位或随机幅度）的函数，那么该信号就称为随机信号。

能量信号和功率信号

传输信号可以用时间的实函数  表示，称为实信号。其可分为能量信号和功率信号两个主要的类别。能量信号是能量有限的信号（即其功率接近为零）；功率信号是能量无限但功率有限的信号。

如下图所示，一般情况下能量信号是由时间限制的，功率信号是无限的。

图源自网络

描述能量信号的频谱特性通常采用能量谱密度（Energy Spectrum Density, ESD）函数（实际应用中常用振幅谱  ）来描述；对于功率信号，则常用功率谱密度（Power Spectrum Density, PSD）函数来描述。

设信号为  ，对于能量信号，能量谱密度（ESD）函数定义为 

对于功率信号，功率谱密度(PSD)函数定义为 

其中  为信号  的自相关函数。

窄带（通）信号

按照信号的频率组成，可将信号划分为低通（Low Pass）信号和带通（Band Pass）信号。通常所用的雷达信号，其带宽比载频小得多，称为窄带（通）信号。

一个实带通信号可表示为 

其中：  为信号的幅度调制或包络，  为相位调制项，  为载频。

信号包络  的变化与相位调制和载波相比为时间的慢变化过程。对于低分辨雷达，在一个波位上发射的多个脉冲的目标回波的包络  通常近似认为不变。

信号  的频率调制函数为 

瞬时频率为 

实信号具有对称的双边频谱（详情见#雷达信号波形#）。对窄带信号来说，由于其带宽远小于载频，两个边带频谱互不重叠，此时用一个边带频谱就能完全确定信号波形。为了简化信号和系统的分析，通常在信号处理过程中采用具有单边频谱的复信号。

常用的复信号表示，即实信号的复数表示有两种：希尔伯特（Hilbert）变换表示法和指数表示法。对窄带信号来说，这两种表示方法是近似相同的。

实信号的频谱

对于实信号  ，其频谱函数 

又由欧拉公式  ，则 

故 

式中 

频谱函数的模 

频谱函数的相角 

即频谱函数  的实部  是关于  的偶函数，虚部  是关于  的奇函数。

可得 

即实信号具有共轭对称的频谱。由前面分析可知，为了方便信号处理，在总功率不变的情况下去掉负频谱，保留正频谱。而阶跃信号  可实现这一过程，故只有正频谱的信号 

由此引出了希尔伯特变换。

希尔伯特（Hilbert）变换表示法

希尔伯特变换可以理解为信号  通过一个脉冲响应为  的线性时不变系统。

一般地，复信号可表示为 

要求复信号具有单边频谱，那么要对虚部有所限制。

如果实信号  的傅里叶变换为  ，定义其复解析信号为

其中  为频域的阶跃函数。利用傅里叶变换的性质可得

则  的 Hilbert 变换式为

这样，由上式构成的复信号的频谱就满足实信号要求，即使得原实信号的负频分量相抵消，而正频分量加倍。实信号  的能量和复解析信号  的能量分别为

指数表示法

复解析信号在推导信号的一般特性时是有效的表示方式，但在分析具体信号时又极不方便，故常采用指数形式的复信号来代替复解析信号。

实信号用指数形式的复信号实部表示为

其中  为实信号的复指数形式，而  为复信号的包络。

窄带实信号、复信号和复包络之间的关系如下表所示。

窄带实信号、复信号和复包络之间的能量关系为 

其中，  ，  ，  。

有时为了方便分析，常对信号能量进行归一化，即令 

窄带实信号  的频谱  ，其对应的复解析信号的频谱  和信号复包络频谱  之间的关系如下图所示。

对于窄带雷达信号，可以用其复包络  或对应的频谱  完全描述。

本文参考《雷达系统分析与设计（MATLAB版）（第三版）》，有兴趣的可以购买书本帮助理解。

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