信号低通滤波之后的形状变化

简 介： 本文探讨了信号经过多次低通滤波后的波形变化及其特性。通过LTspice仿真，展示了从1阶到31阶低通滤波器对矩形脉冲信号的滤波效果，发现随着滤波次数的增加，波形逐渐平滑并产生延迟，最终接近高斯信号。文章进一步分析了信号的延迟时间，使用线性方程拟合延迟，并探讨了高斯拟合的精度。结果表明，随着滤波次数的增加，高斯拟合的精度提高，信号峰值降低，中心位置线性延迟，方差近似线性增加，均方差下降。这些分析为理解多次滤波对信号波形的影响提供了重要见解。
关键词：高斯滤波，低通滤波

• 信号被多次滤波后的波形^[1]

01多次滤波

一、低通滤波

  这是一个低通滤波器，在变换域内分析它，对应的输入输出的传递函数， 可以写成电阻与电容的分压之比。等于 1比上 1 加电路的时间常数，乘以 s。对于输入的方波信号，低通滤波之后就形成了上升和下降沿缓变的信号。 下面有一个问题，如果滤波之后的信号，经过电压缓冲之后，再进行滤波。这个过程重复下去，最终，滤波输出的信号是什么样子的波形呢？

二、LTspice仿真

  在 LTspice电路仿真软件中，可以使用它的受控电压源来仿真上面的低通滤波电路。这里给出了该受控电压源的传递函数，核心部分，就是前面低通滤波器的传递函数。时间常数这里设置为 1ms。如果将它进行 N 次乘方运算，这就构成了 N 阶 相同低通滤波器的传递函数。下面绘制出从1阶低通，到31阶低通，对于一个 10ms 宽的矩形脉冲波形的滤波结果。 根据滤波结果，可以看到，原来的矩形脉冲波形，逐步变得光滑，另外也产生了延迟。最后，整个波形就接近于一个高斯信号。

  将仿真数据从 LTspice中读出，绘制出演变动画，这里可以看到，输出信号的波形的确从最初的方波，逐步过渡到高斯信号。下面通过对输出信号的拟合，研究，信号的中心对应的延迟以及与高斯信号之间的误差。

三、信号的延迟

  首先分析一下滤波信号的延迟时间。使用信号幅度的平方来计算信号的一阶矩，表示信号的中间时间。

  计算出的信号延迟，呈现线性增加的情况。虽然中间有些微小的波动，这应该是由仿真数据比较大的时间间隔带来的。最初两个信号的延迟非常接近。为何出现这种情况，现在还不得而知。

  使用线性方程拟合信号延迟。可以得到对应的延迟公式。

四、高斯拟合

  使用高斯曲线对于滤波后的信号进行拟合，可以看到随着滤波次数的增加，拟合的精度也增加。绘制出高斯拟合对应的信号的幅度，滤波次数增加，信号的峰值在降低。这是高斯拟合对应的中心的位置。令人感到惊讶的是，利用拟合计算出来信号的中心，随着滤波的次数增加，非常精确的线性延迟。这比使用信号的二阶矩计算的结果更加精确。高斯拟合的方差随着滤波次数的增加也近似线性增加，反映信号逐步变宽了。最后一个非常重要，就是高斯拟合的精度。随着滤波次数，信号与高斯信号之间的均方差下降。这说明信号与高斯信号越来越接近了。猜测，当滤波次数趋向于无穷大，最终就会形成一个高斯信号。

※ 总  结 ※

本文对于信号经过循环一节低通滤波之后的波形进行了仿真测试，可以看到，每一次滤波之后，信号的波形就逐步后移，波形就越发接近高斯信号。对于这种现象的理论分析，留作下一次来进行讨论吧。