卷到最后都是“高斯”

简 介： 本文探讨了信号通过一阶低通滤波器进行多次滤波后的变化，并通过LTspice仿真观察到，随着滤波次数的增加，输出信号逐渐接近高斯信号。文章分析了滤波过程中的信号延迟和方差变化，并基于电路的单位冲激响应，结合中心极限定理，推导出多次卷积后的信号趋向于高斯函数的结论。通过变量替换和仿真验证，进一步证明了这一理论。最终指出，只要滤波器的单位冲激响应信号为正，无论何种滤波器，多次卷积结果都会趋向于高斯信号。
关键词：低通滤波器，卷积，中心极限定理

01循环卷积

一、电路仿真

  前几天讨论了一个矩形波信号，通过 RC低通滤波电路 进行反复滤波之后的波形。使用LTspice进行仿真，可以看到，随着滤波次数的增加，输出信号越来越接近高斯信号。这难道是一个巧合吗？  随着滤波次数的增加，不仅信号波形逐步接近于高斯信号，同时信号的幅度也逐步降低，信号的方差 也渐渐扩大。此外，还有一个明显的变化，就是信号随着滤波次数的增加逐步延迟。下面，对于这个问题稍微进行理论上的分析。

二、问题分析

  由于信号是通过一阶低通滤波器进行滤波，所以信号中的高频成分信号的作用在后续滤波过程中逐步减小，因此，影响最后输出信号的因素，主要是由信号给电路中电容最初冲入的电压有关系。而这个电压的大小可以看成由一个输入的冲击信号来完成的。所以，最终滤波电路输出信号是由电路的单位冲激响应信号，经过不断地卷积而形成的。这是后面分析的理论基础。

  对于 RC 一阶低通滤波器来说，使用它对于信号进行滤波， 如果进行重复滤波，  需要使用电压跟随电路将RC滤波电路进行级联。级联 N 个滤波器。   电路对应的单位冲激响应是单个滤波器的单位冲激响应的卷积。系统函数则是单个滤波器的系统函数的幂函数。我们希望， 证明，当级联个数 n 趋向于无穷大的时候，对应的系统单位冲激响应趋向于一个高斯信号。 对应的系统函数，也是一个高斯信号。

三、卷积极限

  为了证明上面的结论， 考察一下该电路的单位冲激响应，  这是一个指数衰减的信号。 该信号是一个始终大于0 的函数，它的面积 恰好等于1 。这样，我们就可以将它当做一个随机变量 x 的概率密度函数。可以求出该随机变量的均值和方差。构建一个有 N 个独立同分布的随机变量 x 累加和的变量 Yn，根据概率论中的中心极限定理 ，可以知道这个变量的概率分布函数，随着 n 趋向于 ∞，它趋向于高斯函数。

  下面，分析一下公式中随机变量之和对应的概率密度函数，它等于单个随机变量的概率密度函数 之间进行卷积的结果。为了下面方便书写，将连续卷积记为下面等效的连乘的形式。那么，在累加和的基础上，减去 n 倍的均值，这样就构成了零均值的随机变量，对应的概率密度函数可以看成 h(x) 平移之后的卷积。如果该变量除以一个比例因子，则对应变量的方差变化了比例因子的平方倍。也就是说，它对应的概率密度函数对应的方差等于 Yn 的方差，再乘以 n，sigma的平方。由此，可以知道对应的极限也是在Yn的概率密度函数的基础上，修改一下对应的方差。至此，我们得到了 h(t) 卷积极限的公式。经过变量替换，最终，得到了我们希望证明的结论，那就是 一阶低通滤波器单位冲激响应进行卷积的极限的确是一个高斯函数。

四、仿真验证

  根据推导出来的极限公式，可以看到，随着迭代的次数增加，输出信号的幅度随着 n 的根号分之一衰减，信号的中心随着 n 呈现等间隔的延迟，信号的方差随着 n 的二分之一次方增加。根据前几天电路仿真的结果，可以看出，对输出信号进行高斯信号拟合对应的幅度是减小的。中心延迟随着 n 、线性增加，对应的方差增加，总的情况大体符合 n 的二分之一次方。由此也能够对这个极限公式进行验证。

※ 卷积极限 ※

本文讨论了信号经过由一阶低通滤波器，进行循环滤波之后的信号，可以看到这个输出信号与该低通滤波器的单位冲激响应信号有关系。可以看到它们的卷积结果。这个结果随着滤波次数的增加，逐步接近于 一个高斯信号。其中应用了概率论中的中心极限定理，因此，只要滤波器的单位冲激响应信号都是大于零的信号。都可以得到相同的结论。也就是无论什么样的滤波器，只要单位冲激响应信号的幅度大于零，最终卷积结果都是趋向于一个高斯信号。