史密斯圆图 The Smith Chart
贝尔实验室工程师菲利普·史密斯 (Phillip Smith) 设计了一种图解法,用于求解微波理论中常见的重复方程式。例如反射系数方程式 Γ = (Z – 1)/(Z + 1)。由于该方程式中的所有值都是复数,因此使用史密斯图解法可以简化求解该表达式的繁琐过程。史密斯圆图 (Smith Chart) 是这项技术的自然名称。
该图本质上是两个平面——Z(或阻抗)平面和 Γ(或反射系数)平面——之间的映射。我们都熟悉阻抗平面——一个具有实轴和虚轴的直角坐标平面。任何阻抗都可以绘制在这个平面上。在本讨论中,我们将阻抗平面归一化为特性阻抗。
让我们在这个归一化平面中选取几个值,看看它们如何映射到 Γ 平面。令 z = 1。在 50 欧姆系统中,这意味着 Z = 50 欧姆。对于这个值,|Γ| = 0,即Γ平面的中心。
现在我们令z为纯虚数(即z = jx,其中x可以从负无穷到正无穷变化)。由于Γ = (jx – 1)/(jx + 1),|Γ| = 1,其相位角在0到360度之间变化。这在Γ平面上描绘出一个圆(图)。对于正电抗,即jx为正,阻抗映射到上半圆。对于负电抗,阻抗映射到下半圆。上半圆区域为感性区域,下半圆区域为容性区域。
现在让我们看一些其他的阻抗值。
一条通过实轴上z = 1点的恒阻线,在Γ平面上映射成一个圆。
上半圆表示阻抗为1 + jx,即感性区域;
下半圆表示阻抗为1 - jx,即容性区域。
恒电抗线 r + j1 也以圆的形式映射到 Γ 平面上。当我们接近阻抗平面的虚轴时,Γ 接近单位半径圆。当我们穿过虚轴时,Γ 平面上的恒电抗圆会超出单位半径圆。
现在我们回过头来观察 z 的实数,我们可以看到在 z = -1 处,Γ = ∞。当 z 为实数且小于 1 时,我们会向外移动到 Γ 平面上的单位半径圆。
当 z 的实部变为负值时,Γ 会继续沿着这个半径无限大的圆移动。单位半径圆外的整个区域表示实部为负的阻抗。稍后我们将在处理晶体管和其他通常具有负实数阻抗的有源器件时用到这个事实。
在阻抗平面上,恒电阻线和恒电抗线相交。它们也会在 Γ 平面上相交。阻抗平面上的点与 Γ 平面上的点之间存在一一对应关系。
通过继续绘制其他恒定电阻和电抗圆,就可以完成史密斯圆图。
史密斯圆图
史密斯圆图的应用 Applications of the Smith Chart
现在让我们尝试用史密斯圆图举几个例子来说明它的实用性。
1. 阻抗到导纳的转换
将归一化阻抗 1 + j1 转换为导纳可以很容易地完成。让我们首先在史密斯圆图上绘制表示 z 值的点(图 32)。从这些关系中,我们可以看出,虽然导纳的大小是阻抗大小的倒数,但 Γ 的大小相同,但其相位角改变了 180 度。在史密斯圆图上,Γ 矢量将旋转 180 度。然后可以将该点读作导纳。
阻抗到导纳的转换
我们可以用另一种方法实现阻抗到导纳的转换。与其将 Γ 矢量旋转180度,不如将史密斯圆图旋转180度。我们可以将旋转后的圆图称为导纳图,将原始圆图称为阻抗图。这样,我们就可以直接将任何阻抗转换为导纳,反之亦然。
2. 实部为负的阻抗
现在我们来看看实部为负的阻抗。这又是一个传统的史密斯圆图,由单位半径圆的边界定义。如果一个阻抗是电感性的,且实部为负,它将映射到图外的 Γ 平面。将这个点重新映射到图上的一种方法是绘制Γ的倒数,而不是 Γ 本身。这很不方便,因为相位角不会保留。电感性阻抗的映射看起来似乎是电容性的。
实部为负的阻抗
然而,如果我们绘制Γ的复共轭倒数,相位角保持不变。该值与原始Γ位于同一条线上。
此外,还有史密斯圆图压缩,其中包含单位半径图以及大量的负阻抗区域。该图的半径对应于幅度为3.16的反射系数。
3. 频率响应
我们来看一个阻抗为 z = 0.4 + jx 的网络。随着输入信号频率的增加,该网络的阻抗图沿着阻抗值为 0.4 的恒阻圆顺时针移动。这种随着频率增加而顺时针移动的现象是无源网络史密斯圆图上阻抗图的典型特征。这本质上就是福斯特电抗定理。
现在,如果我们看另一个实部为 0.2 且虚部为容性的电路,则阻抗图会随着频率的增加再次顺时针移动。另一种经常遇到的电路是谐振电路。此时,史密斯圆图也可用于绘制频率响应(图)。
对于零频率下的该电路,电感器是短路的。我们从点 z = 0 开始绘制。随着频率的增加,感抗占主导地位。我们顺时针移动。在谐振时,阻抗为纯实数,具有电阻器的值。如果电阻器具有更高的值,则谐振时的交叉点将在史密斯圆图上更靠右的位置。随着频率继续增加,响应顺时针移动到史密斯圆图的容性区域,直到达到无限大频率,此时阻抗再次为零。
理论上,谐振电路的完整响应应该是一个圆。实际上,由于我们通常不会在整个频率范围内都使用纯电容或纯电感元件,因此我们会看到其他小圆环,这些圆环指示其他谐振。这可能是由于电容器中的寄生电感或电感器中的寄生电容引起的。这些圆的直径在某种程度上可以指示电路的Q值。如果我们有一个理想的谐振电路,其响应应该是史密斯圆图上的外圆。这表示Q值无穷大。
还有其他使用史密斯圆图测量腔体和YIG球的Q值的技术。其中一种技术利用了这样一个事实:在谐振电路中,电路的实部在半功率点处等于无功部分。让我们在史密斯圆图上画两条连接这些点的圆弧。这些圆弧的圆心在 j1处。圆弧的半径为√2
然后,我们增加频率,并记录响应位于上圆弧时的频率值。继续增加频率,记录谐振频率和响应位于下圆弧时的频率。
电路Q值公式
电路的Q值公式很简单,就是谐振频率fo除以上下半功率点之间的频率差。Q = fo/Δf。
什么是福斯特电抗定理?
福斯特电抗定理(Foster's Reactance Theorem)是描述无源无耗一端口网络中输入电抗和电纳随频率变化的规律,指出二者均为频率的严格单调递增函数。
福斯特电抗定理的核心内容
福斯特电抗定理的核心观点是:对于一个无源无耗一端口网络,其输入电抗(XX)和电纳(BB)均是频率的严格单调递增函数。
这意味着:
随着频率升高,电抗值必然增大;
电纳(电抗的倒数)同样随频率单调递增。
福斯特电抗定理的应用场景:
该定理常用于分析LC电路、谐振腔等无耗网络的频率响应特性。
测试和测量:
虽然该定理本身是一项基本原理,但它可以通过多种方式进行测试和测量:
单端口网络 - 可以通过确定不同频率下输入阻抗或导纳的虚部直接测量电抗。 双端口网络 - 可以从双端口网络参数(例如 Z 参数、Y 参数或 S 参数)中提取电抗。
仿真与分析 - 网络仿真器可用于分析拟议网络设计的频率响应,并验证其是否符合福斯特定理的要求。
Q因子估算 - 该定理可用于估算谐振器的 Q因子,Q因子是衡量能量存储和损耗的指标。
本质上,测试福斯特电抗定理涉及验证无源无损网络的测量电抗函数是否与频率呈现严格的递增关系。这对于确保网络设计在物理上可实现且性能符合预期至关重要。
总结
让我们快速回顾一下我们在史密斯圆图上看到的内容。它是阻抗平面和反射系数(或 Γ平面)的映射。
我们发现,实部为正的阻抗映射到史密斯圆图的单位半径圆内。实部为负的阻抗映射到该单位半径圆外。实部为正且具有感抗的阻抗映射到史密斯圆图的上半部分。容抗的阻抗映射到史密斯圆图的下半部分。
作为一款应用于电机与电子工程学的经典图表,史密斯圆图被广泛用于阻抗匹配、电路调试、参数计算甚至滤波器调试等。