一、命题要求

1、命题题型

  本次命题是面向2025年本科“信号与系统分析”课程的期末考试题的正式考试试题。题目的类型、数量以及分值规划如下：

【表1-1 命题类型以及数量规划】

2、命题内容覆盖分析

  针对2025年教学内容，下面是期末考试试题涵盖各章内容。请注意，有的考试题目内容是涵盖多个章节的。由于存在其中随堂练习，所以期末考试内容包含期中之后的内容多一些。由于本学期因为假期安排，放掉了三次授课（6个学时），第八章（数字滤波器）的内容只有前面的基本概念内容列入考试内容。

【表1-2 各章内容覆盖】

• A\B试卷调整说明：

  最初试卷是A卷，按照以下方式将其调整到B卷。

• 大题调整：
• A卷中的大题顺序为：1,2,3,4,5,6,7,8
• B卷中的答题顺序为 ：2,1,3,4,3,6,5,8,7
• 小题调整：
• 对应A卷中的 1,2,3,4,5中都分别有小题；将小题按照 奇数偶数对调；

3、考试相关内容

（1）考试时间地点

• 考试时间：   6月17日（星期星期二，晚上 19:00-21:00）

• 考试地点：
• 一教201：1~3班，散选
• 一教205： 4~6班
• 一教202：CDIE（小班）

（2）成绩综合与录入

  试卷归档要求：

  （1）填写试题命题、审核、归档表格

  （2）收集监考记录表格；

  （3）试卷A,B，标准参考答案；

  （4）考试试卷，按照学号排列，其中包括有 试卷、答题纸、A4 CheetSheet、草稿纸；

（3）监考任务

• 考试前期（1）提前15分钟，带着试卷、答题纸、草稿纸达到教室； （2）在教室黑板上写明以下信息。【1】信号与系统分析课程期末考试教室； 【2】参加考试人员：自21,22 （按照前面考试地点分配内容）； 【3】考试时间：19:00 - 21:00 （结束时间后面会调整）； 【4】请大家隔行隔列就坐； 【5】考试形式：半开卷。 （3）组织同学就坐，将所携带的书包书籍等，除了一张A4纸之外，其余都放置在黑板前，或者教室最后墙根； （4）提前5分钟分发试卷、答题纸、草稿纸，提醒同学在上述材料上都写上 姓名、班级、学号。在答题纸上标明 A卷或者B卷； （5） 清点参加考试的同学人数；最好拍摄几张记录照片。 （6）填写监考记录表个信息，已备归档。 （7）打开教室的投影仪，在浏览器百度中搜索当前时间，将时钟信息投影在屏幕上。

• 考试中间（1）维持考试纪律；检查学生携带证件； （2）回应学生对答题纸、草稿纸申请； （3）回复或者记录学生的提问； （4）收取提前交卷的材料；

• 考试结束（1）提前确定考试正式结束时间； （2） 提前2分钟讲解交卷注意事项。将试卷、A4纸、草稿纸都夹在答题纸中间提交； （3）收取试卷，清点数量之后再允许同学离开座位； （4）集中将试卷带回办公室；

02考试命题

【表1-1 选择题答题表格】

【表1-2 判断题答题表格】

一、选择题

• 题目要求：  单项选择题目（10×1=10分。将答案写在试卷前面的答案标特1-1中）

（1）  关于下面周期信号频谱描述不正确的是 （  ）。

  A. 信号频谱同时包含 cos，sin 分量；

  B. 信号频谱只包含奇次谐波分量；

  C. 信号频谱随着谐波分量阶次 n 分之一规律衰减；

  D. 使用信号的限次谐波叠加之后形成的周期信号的峰峰值大约为 2.09 E。

答案：D 。这是一个具有间断点的信号。根据傅里叶级数分解中的吉布斯现象，使用有限项谐波叠加之后的周期信号，在原信号间断点出会出现大约 9% 的过冲现象。因此会造成信号的 峰峰值大约为  2.18E，而不是 2.09E。

（2）  下图给出了 拉普拉斯变换对应的 s 复平面上的一个圆环区域。判断与s平面上圆环对应的 z 平面上的图形为 （  ）。

答案：A。由于外环的半径超过了  ，所以对于 z  平面上对应的外部区域的边缘有交叉点。内圆半径小于   ，所以 z 平面上区域内部边缘没有交叉点。综上两个条件，可以知道对应的 z 平面上的区域应该是 A。

（3）  一个连续时间 LTI 系统的零极点分布如下图所示，请选择它对应的单位冲激响应信号。

答案： （D） 。根据系统极点的位置，可以判断该系统的单位冲激响应应该是衰减震荡的形式。极点的虚部大约为 6 左右，对应的频率应该在    Hz 左右。所以在给出的图像中，（D）应该是最接近的信号波形。

（4）  已知 LTI系统的零极点分布如下图所示。请选择对应全通滤波器 的零极点分布。

答案：  （D）

（5）  已知 LTI 因果系统的   零极点分布，单位阶跃响应   ，相频特性   以及因果离散时间系统   的零极点分别如下面四个图所示。其中存在稳定逆系统对应是 （    ）。

答案：  （D）。这个题目实际上是判断哪一个对应的系统为 最小相位系统。

（6）  下面信号中，哪一个为非周期信号？

答案：  （C）

（7）   下面系统中，选择属于线性时不变 的系统。其中   为系统输入信号， 为系统的输出信号。

答案：  D。

（8）  下面半边周期冲激序列的拉普拉斯变换为：

答案：   C。信号的 LT 对应的是一个等比序列，比值为   。

（9） 已知因果两个序列   的卷积和为   。其中   ， 。那么   的取值为。

  注： 上面给出的序列值列表，第一个数字都对应的   。

答案： C

（10）   对于信号幅度调制，下面哪一种调试可以使用 二极管检波 进行信号解调？

A.  普通信号调幅

B.  载波抑制信号调幅

C.  复震荡信号调幅

D.  单边带调幅

答案：  A。这里的普通信号调幅，对应的是载波抑制信号调幅。当调制度小于1的时候，可以通过二极管进行半波整流，再加低通滤波器进行调幅信号解调。

二、判断对错

• 题目要求： 判断对错题目（10×1=10分。正确画√，错误画×。将答案写在试卷前面的答案表格1-2中）

（1）   周期信号与非周期信号的叠加，结果一定为非周期信号。

答案：  错误。

（2）  如果信号   的 拉普拉斯变换为   ，根据拉普拉斯变换的终值定理可以得到   。

答案：  正确。

（3）  FIR 数字滤波器的相频特性一定时线性相位。

答案：  错误。FIR滤波器系数需要满足关于中心偶对称或者奇对称，才能够保证线性相位。

（4）  如果LTI 系统的幅频特性满足 佩里-维纳 准则，该系统一定为因果系统。

答案： 错误。佩里-维纳准则是系统为因果系统的 必要条件，不是充分条件。

（5）  对于满足采样定理的采样信号进行零阶保持 恢复出连续时间信号，再经过一个理想低通滤波器便可以完全恢复出被采样信号。

答案：  错误。对零阶保持信号的频谱，与原信号频谱之间除了具有一些原采样信号周期延拓后的高频分量之外，还存在着高频信息被衰减的失真，即频谱被 sinc 函数相乘。所以恢复出原始信号还需要对零阶保持信号进行高频补偿。此外，还需要补偿零阶保持所带来的时间延迟，对应的频谱的相位多了一个负斜率的线性相位因子。

（6）  两个信号  的卷积结果为   。那么  的面积等于  的面积加上   的面积。

答案：  错误。应该是卷积结果的面积等于参与卷积运算两个信号面积的乘积。这个结果的证明可以通过信号的傅里叶变换中的卷积定理来证明。

（7）   如果序列   的 z 变换为    。那么 序列   的 z变换等于  。

答案：  正确。可以直接根据 z 变换公式，两边同时对 z 进行求导来证明这个结果。

（8）  已知 LTI 系统的输入信号   和系统的零状态响应信号   如下图所示。那么   对应的系统零状态响应信号的波形  如下图所示。

答案：  错误。这个题目是作业中的练习题。原题应该是   对应系统的零状态响应为  波形。

（9）  存在实信号  ，信号  和它的频谱  都是有限长。

答案：  错误。

（10）  一个稳定 LTI 系统的零状态响应信号一定是绝对值可积的，也就是信号的绝对值的积分小于无穷大。

答案： 错误。稳定 LTI 系统的零状态响应是否绝对值可积，还与输入信号的形式有关系。比如，一个持续存在的信号如果引起系统的输出中具有 稳态响应，那么对应的输出信号就不满足绝对值可积。

三、填空题

• 题目要求：  填空题目（2×10=20分。将答案写在试卷题目中的空线上面）

1、    已知周期信号的波形如下图所示。通过频谱仪测试该信号的三的倍数次谐波（3，6，9，12，……）都不存在。该信号的直流分量是   （V）。

答案：  5/3V，或者 10/3V。这是第三章的作业题。

2、  已知信号   的频谱为   。对它进行理想采样，采样周期为   。采样后信号的频谱为：。

答案：

3、  已知信号  的波形如下图所示，该信号的拉普拉斯变换为：。

  提示： 将  分解成两个相同方波信号的卷积，分别写出方波信号的拉普拉斯变换，在用拉普拉斯变换的卷积定理变可以比较容易的得到答案。当然，也可以利用微分性质进行计算。

答案：  答案可能存在不同的恒等变形的形式，也就是分别使用卷积定理计算和微分定理计算搜得到的结果之间存在着形式上不同但实际上属于恒等变形的表达式。

4、  下面系统中，为了保证系统是稳定的，参数 K 的取值范围是：。

答案： 。

提示： 这个题目与课件上的系统框图的差别在于，这个题目中的系统框图反馈是正反馈。所以搜得到的答案与课件上的答案恰好相反。

5、    已知离散时间序列  $x\left[ n \right] = \sum\limits_{m = 0}^{n {{{\left( { - 1} \right)}}m}}x\left[ n \right]X\left( z \right)$ 为 。

6、  已知一个 LTI系统在   作用下的零状态响应为   。那么该系统在   作用下的系统零状态响应为：。

答案：

7、   复数信号   的频谱为   。那么   的是实部对应的频谱为：。

答案：

8、  已知序列   ，序列中第一个数字对应下标  。该序列的傅里叶变换（DTFT）是  $X\left( {{e^{{j\omega }}} \right)X\left( {{e}{j\pi }}} \right) =$ 。

答案：4。

9、  已知信号的表达式为   ，该信号的奈奎斯特频率（即信号最高频率的两倍）为 （Hz）。

  注： 表达式中的 sinc(x) = sin(x)/x。

答案： 。

10、   已知信号   的波形如下图所示。那么它们的卷积   结果  。

答案： 。

四、简答题

• 题目要求：  简答题目（5+5=10分。将答案写在答题纸上，答案前面标注题目序号）

1、  太阳黑子数据是人类持续时间很长的天文观察数据，其中蕴含着距离地球最近恒星内部活动规律。下图记录了1991年全年观察到的太阳黑子全年总面积的变化曲线，可以看到黑子活动呈现一定的周期波动特性。如果通过对观察数据进行离散傅里叶变换来获得太阳黑子活动不同的周期成分，请针对以下问题进行简要回答。

• 太阳黑子手绘图数据系统^[7]

（1）  如果希望获得太阳黑子活动不同周期成分，周期从 10天 到 20年，最低周期是10天，周期对应的频率分辨率为 一百天分之一（1/(100天)）。请问需要进行计算的太阳黑子观察数据时间采样率（或者记录数据时间间隔）和观察数据最短持续时间需要满足的条件。

（2） 请简要分析使用 DFT 计算周期成分过程中可能会产生的误差以及消除（或者减轻）误差的办法。

◎ 解答：

（1）   参与计算的太阳黑子观察数据记录时间间隔应该满足 不大于 5天一次的记录速率。这是因为最低的周期为10天，对应频谱分析中的最高频率为 1/10天，那么观察数据的采样频率应该大于最高频率的两倍，也就是 五天分之一，对应的观察数据记录时间间隔小于 5  天。

  参与计算的太阳黑子观察数据最短的持续时间应该超过 100 天。这是应为观察信号的时间长度对应的 DFT 获得频谱的频率间隔。

（2）  利用 DFT 计算信号的频率分量可能产生的误差以及消除方法的阐述，包括以下得分点。回答出其中的两个便可以获得这部分分数。

• 频率混叠：   由于对信号采样所带来的频率混叠误差。消除（减轻）误差的方法包括增加数据采样频率，使用抗混叠滤波器；
• 频率泄露：   由于对观察信号进行截断所带来的频率泄漏现象。消除（减轻）误差的方法包括增加数据采样时间，对采样数据进行数据加窗处理；
• 栅栏现象：  使用DFT只能获得数据频谱的离散采样，这也被成为栅栏现象。为了获得更多的信号频率分量，可以通过延长采样时间，或者对观察数据进行补零等方式来获得更多的DFT计算数据量，从而可以获得更多的计算频谱。
• 幅度变化（电平变化）：  这是因为在使用DFT计算频谱的过程中，对于数据采样周期  进行省略，相等于将其变为 1，这样就带来计算出频谱数值在幅度上产生了变化。消除这种因素，可以在计算出的数值上，乘以   。

2、 请写出这学期信号与系统分析课程中讲解的工程应用中的八种信号分解、信号变换的名称，并简述它们之间的联系。

◎ 解答：

  本简答题考察学生对于信号与系统分析课程中讲解的变换域分析所使用到的工具之间的关系的梳理。此问题没有固定标准的答案，通过学生在回答内容中包含有以下内容，都可以作为得分点，直到得到本题目满分为止。

• 得分点1：  能够给出以下八种信号变换（分解）中的六个以及以上的中文名称、英文名称（缩写）；

  FS：连续周期信号傅里叶级数分解

  FT：连续信号傅里叶变换

  LT：连续信号拉普拉斯变换

  ZT：离散序列的z变换

  DTFT：离散序列傅里叶变换

  DTFS：离散周期序列傅里叶级数分解

  DFT：离散傅里叶变换

  FFT：快速傅里叶变换

• 得分点2： 上述八种信号变换（分解）的关系总体上可以由下图所示并参照展开论述。

• 得分点3：  阐述 LT、FT、FS之间的关系。分别从 定义联系，公式转换。比如 FS，FT之间是频谱离散话的关系，FT是LT是复平面上 在虚轴上取值的关系。

• 得分点4： 阐述 ZT，LT之间的关系。分别从 定义联系、公式转换、s，z 平面之间的映射关系进行阐述。

• 得分点5： 阐述 ZT，DTFT，DTFS，DFT，FFT之间的关系。序列的DTFT是对应的ZT在单位圆上的取值； DTFS是其主周期序列对应的ZT在单位圆上均匀采样； DFT是DTFS等价的变换； FFT是DFT的快速算法；

• 得分点6： 能够写出每一种变换对应的公式。公式中关于频率可以使用角频率  ，也可使用自然重复频率  。分解公式可以使用三角函数形式，也可以使用复指数函数形式。LT，ZT可以给出双边信号变换或者单边信号变换。下面仅仅给出教科书上常见到的公式形式。

  【FS】：连续周期信号傅里叶级数分解

  【FT】：连续信号的傅里叶变换

  【LT】：连续信号的拉普拉斯变换

  【ZT】：离散序列信号的 z 变换

  【DTFT】：

  【DTFS】：

  【DFT】： 公式与 DTFS是相同的。

  【FFT】：公式与DTFS是相同的。

五、计算题

• 题目要求： 计算题目（5×4=20分。将答案写在答题纸上，答案前面标注题目序号）

1、   已知信号  的傅里叶变换为   ，已知该信号为某一有限长信号的导数。求下面信号对应的频谱。

◎ 解答：

  分别使用傅里叶变换的尺度特性、位移特性、积分特性计算出   的频谱。使用上述三种傅里叶变换特性的顺序可以不同，但最终计算出的结果是相同的。

  由于已知该信号为某一有限长信号的导数，可以确定该信号的积分（面积）等于0。所以，在应用积分性质的时候，只需要在已知信号频谱上除以   即可。无需增加   部分。

本题来自于第三章傅里叶变换对应的作业题。

2、  已知信号  的拉普拉斯变换如下，求   的表达式。

◎ 解答：

  首先对   中的有理分式进行因式分解，可以得到：

  这部分对应的时域信号为：

  再考虑  中的指数项   ，应用拉普拉斯变换的时移定理，可以求出信号  ：

3、   已知两个序列   ， 。分别求出两个序列的线卷积，长度为7 的圆卷积，长度为 8 的圆卷积。

◎ 解答：

  两个序列的线卷积结果为：

  两个序列的长度为7的圆卷积结果为：

  两个序列长度为8的圆卷积结果，与线卷积结果是相同的：

本题来自于第十四次作业第一小题的变形。

4、  已知两个信号的表达式分别为：

  求卷积   ，并大致绘制出卷积信号的波形。

◎ 解答：

  选择   进行反摺，将积分过程分为以下三个阶段。

  【1】  

  在这个阶段中， 没有重叠，所以

  【2】  

  在这个阶段中， 部分重叠。

  【3】 

  在这个阶段， 完全重叠。

  最终，卷积的结果为：

  卷积结果信号的波形如下图所示：

六、综合题1-系统分析

• 题目要求：  系统分析题目（10分。将答案写在答题纸上，答案前面标注题目序号）

  已知 离散时间 LTI 系统框图如下图所示。

（1）  请写出该系统的系统函数   ；

（2）  请求该系统的单位阶跃响应   ；

（3）  如果系统的初始条件为 ：   。求系统的零输入响应   ；

（4）  绘制出该系统的零极点分布，并判断该系统是否为 稳定系统？ 是否为最小相位系统； 并大致绘制出该系统的幅频特性（注：不要求绘制相频特性） ，绘制   之间的幅频特性  。

◎ 解答：

（1）    设第一个综合器的输出信号为临时变量   ，那么后面两个单位延迟单位的输出分别为   ，如下图所示：

  将系统框图中的每个信号都写出对应的 z 变换对应的变量， 分别对应的 z 变换为   。

  分别根据第一个综合器和第二个综合器列写出两个方程：

  利用上述两个方程，消去变量   ，便可以得到系统函数：

（2）  系统的单位阶跃响应是指在两状态下，输入信号   。对应的系统的 z 变换为：

  将上述分式进行因式分解，可以得到：

  因此，对应的单位阶跃响应   为：

（3）  根据系统函数，系统的零输入响应满足的差分方程为：

  将上述差分方程两边进行 z 变换，可以得到：

  根据    ，可以求出   ：

  将上述 表达式进行因式分解：

  所以，系统的零输入响应为：

（4）  系统的零极点分布如下图所示：

• 该系统为不稳定系统；也可以成为临界稳定系统
• 该系统是非最小相位系统；

  系统的幅频特性如下图中的绿色曲线所示，相频特性如下图中的红色曲线所示（不要求绘制相频特性）。

  对于幅频特性绘制基本要求：

  【1】 需要绘制   之间的幅频特性；

  【2】 幅频特性呈现关于   的左右对称特性；

  【3】 整个幅频特性呈现    型的低通特性。

本文中系统来自于 杜尚丰主编《信号与系统教程及实验》P186 例子 5.18 中的框图。修改了其中的反馈系数，使得它成为稳定系统。

七、综合题2-信号采样与恢复

• 题目要求：  信号采样与恢复（10分。将答案写在答题纸上，答案前面标注题目序号）

  如下图1 所示的信号采样与恢复系统中， 的频谱为  ，如 图3所示。信号   是一个周期矩形脉冲信号，如图2 所示。两者想成之后，得到自然矩形采样信号   。系统   是一个理想低通滤波器，对应的频率特性如 图4 所示。

（1）  写出信号   的频谱；

（2） 写出信号   的频谱   ；

（3） 如果   的最高频率为    （ 角频率，单位 弧度/秒），为了使得   的频谱    能够通过理想低通滤波器恢复出原始信号   ，即   中没有发生频率混叠，请问   信号周期    最大取多大？

（4）  如果使得低通滤波器的输出   就等于输入信号   ，那么滤波器的截止频率  和通带增益   应该满足什么条件？

◎ 解答：

（1）  周期矩形脉冲信号   的频谱可以看成单个矩形脉冲信号的 离散化。由此可以写出对应的频谱：

注：

  【1】 上面公式中  ；

  【2】 试卷答案可以是上述公式的变形；

（2）  由于   等于   乘以   ，根据傅里叶变换频域卷积定理：

（3）  根据采样定理可以知道，周期信号   的频率应该大于 信号  最高频率的两倍   ，所以，对应的周期   的最大值为：

（4）

  下图为   的示意图，虽然这个频谱不要求绘制，但是作为回答 第（4）  小问中低通滤波器的参数具有参考意义。

  低通滤波器的截止频率应该大于   中   对应的最高频率，同时小于相邻周期延拓频率对应的最低频率，也就是：

  低通滤波器  的增益应该能够补偿   前面的系数，也就是：

八、综合题3-信号综合分析

• 题目要求：  信号综合分析（10分。将答案写在答题纸上，答案前面标注题目序号）

  已知信号  的波形如下图所示：

  假设它的傅里叶变换为：

  请在不具体求出  的表达式的情况下，求解：

（1）  求下面积分数值：

（2） 绘制出    傅里叶反变换的信号波形：

（3） 求   。

（4） 如果以该信号作为声呐探测发送信号，需要从接收到的反射信号中检测到该信号的延迟和幅度，请绘制出对应的匹配滤波器 对应的单位冲激响应信号。假设接收到的信号为发送信号的无失真传输信号加上白噪声干扰信号。

提示：匹配滤波器必须符合因果系统 的条件。

题目来自  第六次作业中第三大体（信号综合分析）^[8] 。将其中信号的波形进行左右颠倒。

◎ 解答：

（1）   根据傅里叶反变换公式，可以知道

  根据信号  的波形，可以得到：

（2）  任何信号   都可以分解成对应的 偶分量   以及奇分量   。 。根据傅里叶变换的 奇偶虚实特性，可以知道：

  所以  的傅里叶反变换对应   。再根据傅里叶变换的尺度特性， 对应   。根据   的波形，可以绘制出  的波形如下：

（3） 根据傅里叶变换的定义，我们可以知道：

所以

  根据   的波形，可以知道

所以

（4） 根据匹配滤波器的定义，它对应单位冲激响应信号  的波形就是发送信号的反摺信号。如果满足因果性 的要求，需要将反摺之后的信号往右平移一定的时间，使其成为因果信号。所以，学生提交的答案中，只要满足以下两点即可：

  【1】 波形是   的反摺；

  【2】 幅度可以有所变化；

  【3】 信号的起始点可以是任意，只要满足 因果性要求，即  即可。

  下面给出了一个满足条件的示例波形：